Question

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率e=，一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為（，0）．
（I）求橢圓C方程；
（II）設(shè)直線l：y=與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)T．當(dāng)m變化時(shí)，求△TAB面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（I）設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)題意可求得c，進(jìn)而根據(jù)離心率求得a，進(jìn)而根據(jù)b²=a²-c²求得b，則橢圓的方程可得．
（II）把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點(diǎn)為M（x，y），根據(jù)韋達(dá)定理求得x₁+x₂和x₁x₂的表達(dá)式，進(jìn)而求得|AB|的表達(dá)式，表示x和y，進(jìn)而可知M的坐標(biāo)，設(shè)T（t，0），根據(jù)MT⊥AB，可推斷出k_MT•k_AB=-1進(jìn)而求得|MT|的表達(dá)式，根據(jù)三角形面積公式求得面積的表達(dá)式，根據(jù)m的范圍確定三角形面積的最大值．
解答：解：（I）依題意，設(shè)橢圓C的方程為+=1（a＞b＞0）
∵c=，e==∴a=2，
b²=a²-c²=1，
∴橢圓C的方程是
（II）由
，∴．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點(diǎn)為M（x，y）
則x₁+x₂=-2m，x₁x₂=2m²-2
|AB|==
x==-m，y=+m=m
∴M（-m，m）
設(shè)T（t，0），
∵M(jìn)T⊥AB，
∴k_MT•k_AB==-1
∴．
∴=．
∵，
∴當(dāng)m²=1，即m=±1時(shí)，S_△TAB取得最大值為．
點(diǎn)評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系．充分發(fā)揮判別式和韋達(dá)定理在解題中的作用．靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想、函數(shù)思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想解題．