Question

若曲線C上的點到直線x=-2的距離比它到點F（1，0）的距離大1，
（1）求曲線C的方程．
（2）過點F（1，0）作傾斜角為135的直線交曲線C于A、B兩點，求AB的長
（3）過點F（1，0）作斜率為k 的直線交曲線C于M、N 兩點，求證：為定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知得曲線C上的點到直線x=-1的距離等于到點（1，0）的距離，所以曲線C的軌跡是拋物線，由此能求出其方程．
（2）由，得y²+4y-4=0，y₁+y₂=-4，y₁y₂=-4，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由此能求出．
（3），，設M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），，由此能求出為定值．
解答：解：（1）由已知得曲線C上的點到直線x=-1的距離等于到點（1，0）的距離，所以曲線C的軌跡是拋物線，其方程是y²=4x．
（2）由，得y²+4y-4=0，
∴y₁+y₂=-4，y₁y₂=-4，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴．
（3），∴，
設M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），，
∴
==，
∴為定值．
點評：本題考查直線的圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，注意培養解題技巧，提高解題能力．