Question

定義在[-1，1]上的奇函數f（x），已知當x∈[-1，0]時，f（x）=x²-ax（a∈R）
（I）求函數f（x）在[-1，1]的解析式；
（II）求函數f（x）在[0，1]的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用函數的奇偶性求出函數在[0，1]上的解析式，從而得到函數f（x）在[-1，1]的解析式；
（2）結合二次函數的圖象分a≤-2，-2＜a＜0，a≥0討論，求得函數f（x）在[0，1]的最大值．

解答：解：（I）設x∈[0，1]，則-x∈[-1，0]，由已知條件可知f（-x）=（-x）²-a（-x）=x²+ax
∵函數f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數
∴f（-x）=-f（x）
∴f（x）=-f（-x）=-x²-ax
∴函數f（x）在[-1，1]上的解析式為f(x)=

x2-ax，  x∈[-，0] -x2-ax， x∈[0，1]

（II）由（I）知x∈[0，1]時，f（x）=-x²-ax=-(x+

a

2

)2+

a2

4

結合函數的圖象可知
當-

a

2

≤0，即a≥0時，f（x）_max=f（0）=0
當0＜-

a

2

＜1，即-2＜a＜0時，f(x)max=f(-

a

2

)=

a2

4

當-

a

2

≥1，即a≤-2時，f（x）_max=f（1）=-1-a
綜上得函數f（x）在[0，1]的最大值為f(x)max=

0，         a≥0 a2 4 ，    -2＜a＜0 -1-a，  a≤-2

點評：本題主要考查了利用函數的奇偶性求函數的解析式及根據函數的解析式求閉區間上的最大值，培養了利用數形結合及分類討論解題的能力．