Question

已知數列{a_n}中，a₁=，a₂=且當n≥2，n∈N時，3a _n+1=4a-a _n-1
（I）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）記 ai=a₁•a₂•a₃…a_n，n∈N^*
（1）求極限 （2-2 _i-1）
（2）對一切正整數n，若不等式λ a_i＞1（λ∈N^*）恒成立，求λ的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（I）因為數列{a_n}不是特殊的數列，所以可用構造法，構造一個新數列，使其具有一定的規律．通過觀察，可以發現，3（a _n+1-a _n）=a _n-a _n-1則新數列為等比數列，求出新數列的通項公式，再根據新數列的通項公式疊加求數列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）① （2-a _i-1）=（1+）（1+）（1+）…（1+）=，再對分子進行化簡即可得出答案；
②λ a_i＞1（λ∈N^*）恒成立?λ（1-）（1-）（1-）…（1-）＞1．下面利用數學歸納法證明（1-）（1-）（1-）…（1-）＞1-，從而得出λ的最小值．
解答：解：（I）a₁=，a₂=且當n≥2，n∈N時，3a _n+1=4a-a _n-1
∴3（a _n+1-a _n）=a _n-a _n-1
∴a_n-a _n-1=（a _n-1-a _n-2）=（a _n-2-a _n-3）=…=（a ₂-a ₁）=，
疊加，得a_n-a₁=2（++…+）
故所求的通項公式為a_n=1-，（n∈N^*）
（Ⅱ）① （2-a _i-1）=（1+）（1+）（1+）…（1+）
===．
②λ a_i＞1（λ∈N^*）恒成立?λ（1-）（1-）（1-）…（1-）＞1

下面證明（1-）（1-）（1-）…（1-）＞1-

（i）當n=1時，不等式成立；
當n=2時，左邊=（1-）（1-）=
右邊=1-（+）=
左邊＞右邊，不等式成立．
（ii）假設當n=k時，（1-）（1-）（1-）…（1-）≥1-（++…+）
成立．
則當n=k+1時，，（1-）（1-）（1-）…（1-）（1-）
≥[1-（++…+）（1-）=（+）（1-）＞+
又1-（++…++）=1-=+
∴當n=k+1時，不等式也成立．
綜上（i）、（ii）可知，（1-）（1-）（1-）…（1-）＞1-成立．
對一切正整數n，不等式λ a_i＞1（λ∈N^*）恒成立
?1-恒成立
（1-）=[+（）ⁿ]=
∴1-＞
故只需≥，∴λ≥2
而λ∈N^*．
∴λ的最小值為2．
點評：本小題主要考查數列遞推式、數列的函數特性、數列的極限、數學歸納法等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．