Question

已知在如圖所示的正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中,AC∩BD=O,A₁C₁∩B₁D₁=O₁,求證:OO₁⊥平面AC.

Answer 1

證法一:連結(jié)O₁A和O₁C,在正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中,∵AA₁⊥A₁B₁,AA₁⊥A₁D₁,且A₁B₁∩A₁D₁=A₁,

∴A₁A⊥平面A₁C₁.∵A₁C₁平面A₁C₁,∴A₁A⊥A₁C₁.同理,CC₁⊥A₁C₁.

∵A₁O₁=O₁C₁,AA₁=CC₁,

∴△AA₁O₁≌△CC₁O₁,O₁A=O₁C.

∵O為AC中點(diǎn),∴O₁O⊥AC.

同理,O₁O⊥BD.又AC∩BD=O,∴OO₁⊥平面AC.

證法二:∵ABCD—A₁B₁C₁D₁為正方體,∴AA₁⊥AB,AA₁⊥AD.

∵AB∩AD=A,∴AA₁⊥平面AC.

∵AA₁BB₁,BB₁CC₁,∴AA₁CC₁,四邊形AA₁C₁C為平行四邊形.

∵O、O₁分別為AC、A₁C₁的中點(diǎn),∴OO₁∥AA₁,OO₁⊥平面AC.