Question

（本小題滿分14分）
已知，，.
（Ⅰ）當時，求的單調區間；
（Ⅱ）求在點處的切線與直線及曲線所圍成的封閉圖形的面積；
（Ⅲ）是否存在實數，使的極大值為3？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）當.…（1分）
           ……（3分）
∴的單調遞增區間為（0，1），
單調遞減區間為：，. ……（4分）
（2）切線的斜率為，
∴切線方程為.……（6分）
所求封閉圖形面積為
.   ……（8分）
（3），     ……（9分）
令.                         ……（10分）
若，，則在R上單調遞減，不存在極大值，舍去；
若
列表如下：

x	(－∞，0)	0	（0，2－a）	2－a	(2－a，+ ∞)
	－	0	+	0	－
	↘	極小	↗	極大	↘

 
由表可知，.           ……（12分）
設，
∴上是增函數，……（13分）
∴，即，
∴不存在實數a，使極大值為3.            ……（14分）

解析