Question

已知m是非零實數，拋物線C：y²＝2ps(p＞0)

的焦點F在直線l：x－my－＝0上．

(Ⅰ)若m＝2，求拋物線C的方程

(Ⅱ)設直線l與拋物線C交于A、B，△AA₂F，△BB₁F的重心分別為G，H

求證：對任意非零實數m，拋物線C的準線與x軸的焦點在以線段GH為直徑的圓外．

Answer 1

答案：
解析：

本題主要考查拋物線幾何性質，直線與拋物線、點與圓的位置關系等基礎知識，同時考查解析幾何的基本思想方法和運算求解能力． 　　(Ⅰ)解：因為焦點F(，0)在直線l上， 　　得 　　又m＝2，故 　　所以拋物線C的方程為 　　設A(x1，y1)，　B(x2，y2) 　　由消去x得 　　y2－2m3y－m4＝0， 　　由于m≠0，故＝4m6＋4m4＞0， 　　且有y1＋y2＝2m3，y1y2＝－m4， 　　設M1，M2分別為線段AA1，BB1的中點， 　　由于2 　　可知G()，H()， 　　所以 　　 　　所以GH的中點M． 　　設R是以線段GH為直徑的圓的半徑， 　　則 　　設拋物線的標準線與x軸交點N， 　　則 　�。�m4(m4＋8m2＋4) 　　＝m4[(m2＋1)(m2＋4)＋3m2] 　�。�m2(m2＋1)(m2＋4)＝R2． 　　故N在以線段GH為直徑的圓外．