Question

已知m是非零實數，拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點F在直線上．
（I）若m=2，求拋物線C的方程
（II）設直線l與拋物線C交于A、B，△AA₂F，△BB₁F的重心分別為G，H，求證：對任意非零實數m，拋物線C的準線與x軸的焦點在以線段GH為直徑的圓外．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據焦點F（，0）在直線l上，將F代入可得到ρ=m²，再由m=2可確定p的值，進而得到答案．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），然后聯立消去x表示出兩根之和、兩根之積，然后設M₁，M₂分別為線段AA₁，BB₁的中點，根據重心的定義可得到關系2，進而得到G（），H（），和GH的中點坐標M，再由可得到關于m的關系式，然后表示出|MN|整理即可得證．
解答：解：（1）因為焦點F（，0）在直線l上，
得p=m²
又m=2，故p=4
所以拋物線C的方程為y²=8x
（2）證明設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由消去x得
y²-2m³y-m⁴=0，
由于m≠0，故△=4m⁶+4m⁴＞0，
且有y₁+y₂=2m³，y₁y₂=-m⁴，
設M₁，M₂分別為線段AA₁，BB₁的中點，
由于2，
可知G（），H（），
所以，，
所以GH的中點M．
設R是以線段GH為直徑的圓的半徑，
則
設拋物線的標準線與x軸交點N，
則
=m⁴（m⁴+8m²+4）
=m⁴[（m²+1）（m²+4）+3m²]
＞m²（m²+1）（m²+4）=R²．
故N在以線段GH為直徑的圓外．
點評：本題主要考查拋物線幾何性質，直線與拋物線、點與圓的位置關系等基礎知識，同時考查解析幾何的基本思想方法和運算求解能力．