Question

【題目】已知如圖幾何體，正方形和矩形所在平面互相垂直，，為的中點，．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求二面角的大小．

Answer 1

【答案】（I）見解析；（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）證明平面，利用線面平行的判定，只需證明平行于平面中以一條線即可，連接，，連接，則為的中點，根據為的中點，可證；

（Ⅱ）以為原點，以，，為，，軸建立空間直角坐標系，證明法向量垂直，由此可求二面角的平面角的大小．

（Ⅰ）證明：連接，，連接，

則為的中點

為的中點，

平面，平面平面；

（Ⅱ）解：因為正方形和矩形所在平面互相垂直，所以平面，

以為原點，以，，為，，軸建立空間直角坐標系，如圖取，，1，，，0，，，1，，，0，，，1，，

設平面的法向量為，，，

，，，，1，，

，不妨令，解得，1，；

同理平面的法向量為，1，，

，

二面角的大小為．