Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，F(xiàn)為線段BC₁的中點，E為線段A₁C₁上的動點，則下列結(jié)論事正確的為（ ）

A．存在點E使EF∥BD₁
B．不存在點E使EF⊥平面AB₁C₁D
C．EF與AD₁所成的角不可能等于90°
D．三棱錐B₁-ACE的體積為定值

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)E，F(xiàn)在平面A₁BC₁內(nèi)，BD₁∩平面A₁BC₁=B，故不存在點E使EF∥BD₁；當(dāng)E為A₁C₁的中點時，取B₁C₁的中點G，連接EG，F(xiàn)G，則可知存在點E使EF⊥平面AB₁C₁D；當(dāng)E為點A₁時，可得EF⊥BC₁從而可知EF與AD₁所成的角可能等于90°；利用等體積轉(zhuǎn)換，三棱錐B₁-ACE的體積等于三棱錐E-B₁AC的體積，說明三棱錐E-B₁AC的體積為定值即可．
解答：解：對于A，∵E，F(xiàn)在平面A₁BC₁內(nèi)，BD₁∩平面A₁BC₁=B，∴不存在點E使EF∥BD₁，故A不正確；
對于B，當(dāng)E為A₁C₁的中點時，取B₁C₁的中點G，連接EG，F(xiàn)G，則利用三角形的中位線，可知EF⊥B₁C₁，EF⊥A₁B，∴存在點E使EF⊥平面AB₁C₁D，故B不正確；
對于C，當(dāng)E為點A₁時，∵A₁B=A₁C₁，F(xiàn)為線段BC₁的中點，∴EF⊥BC₁，∵AD₁∥BC₁，∴EF與AD₁所成的角可能等于90°，故C不正確；
對于D，三棱錐B₁-ACE的體積等于三棱錐E-B₁AC的體積，由于A₁C₁∥平面B₁AC，所以E到平面B₁AC的距離處處相等，又由于△B₁AC的面積w為定值，所以三棱錐E-B₁AC的體積為定值，所以三棱錐B₁-ACE的體積為定值，故D正確
故選D．
點評：本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，命題真假的判定，涉及線面平行、線面垂直、線線角、體積等，解題時要謹(jǐn)慎．