Question

（2011•湖南模擬）已知向量a=（1，2cos²

1

2

wx-1），b=（sinwx，1）（w＞0），函數f（x）=a•b（x∈R）最小正周期為2π．
（1） 求y=f（x）的解析式，并求函數的單調遞增區間；
（2） 若f（a）=

4 2

5

，a∈（0，

π

4

），求sina的值．

Answer 1

分析：（1）利用向量數量積的坐標表示及輔助角公式可得，f（x）=

2

sin(ωx+

π

4

)，利用周期公式T=

2π

ω

可求ω=1，由2kπ-

1

2

π ≤x+

π

4

≤2kπ+ 

1

2

π可求單調增區間
（2））由f(α)=

4 2

5

，α∈(0，

π

4

)可求sin（α+

π

4

），cos（α+

π

4

），而sinα=sin[(α+

π

4

)-

π

4

]，利用兩角差的正弦公式展開可求

解答：解：（1）∵

a

=(1，cosωx)   

b

=(sinωx，1)
∴f(x)=sinωx+cosωx=

2

sin(ωx+

π

4

)
又函數的最小正周期T=2π
故ω=1，f(x)=

2

sin(x+

π

4

)
由2kπ-

1

2

π ≤x+

π

4

≤2kπ+ 

1

2

π  可得 2kπ-

3π

4

≤ x≤2kπ+

π

4

函數的單調遞增區間為[2kπ-

3π

4

，2kπ+

π

4

]
（2）因為f(α)=

4 2

5

，α∈(0，

π

4

)
即

2

sin(α+

π

4

)=

4 2

5

∴sin(α+

π

4

)=

4

5

又α∈(0，

π

4

)  ∴ cos(α+

π

4

)=

3

5

∴sinα=sin[(α+

π

4

)-

π

4

]=

2

2

[sin(α+

π

4

)-cos(α+

π

4

)]=

2

10

點評：本題主要考查了向量的數量積的坐標表示，輔助角公式的應用，三角函數的周期公式，正弦函數的單調區間的求解，拆角的技巧在解題中的應用，是一道綜合性較好的試題．