Question

17．已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）在x∈（0，7π）內取得一個最大值和一個最小值，且當x=π時，f（x）有最大值3，當x=6π時，f（x）有最小值-3．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）是否存在實數m滿足Asin（$ω\sqrt{-{m^2}+2m+3}$+φ）＞Asin（ω$\sqrt{-{m^2}+4}$+φ）？若存在，求出實數m的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據題意，函數的最值可以確定A，根據在x∈（0，7π）內取到一個最大值和一個最小值，且當x=π時，y有最大值3，當x=6π時，y有最小值-3，可以確定函數的周期，從而求出ω的值和φ的值，從而求得函數的解析式；
（2）根據（1）所求得的ω和φ的值，分析ω $\sqrt{{-m}^{2}+2m+3}$+φ和ω $\sqrt{{-m}^{2}+4}$+φ的范圍，確定函數在該區間上的單調性，即可求得結果．

解答 解：（1）由題意可知：A=3，$\frac{1}{2}$T=5π，
∴T=10π，
則ω=$\frac{2π}{T}$=$\frac{2π}{10π}$=$\frac{1}{5}$，
∴y=3sin（$\frac{1}{5}$x+φ），
∵點（π，3）在此函數圖象上，
∴3sin（$\frac{π}{5}$+φ）=3，$\frac{π}{5}$+φ=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z．
φ=$\frac{3π}{10}$+2kπ，k∈Z．
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{3π}{10}$．
∴y=3sin（$\frac{1}{5}$x+$\frac{3π}{10}$）；
（2）∵ω=$\frac{1}{5}$，ϕ=$\frac{3π}{10}$，
∴ω $\sqrt{{-m}^{2}+2m+3}$+ϕ=$\frac{1}{5}$$\sqrt{{-（m-1）}^{2}+4}$+$\frac{3π}{10}$∈（0，$\frac{π}{2}$），
ω $\sqrt{{-m}^{2}+4}$+ϕ=$\frac{1}{5}$$\sqrt{{-m}^{2}+4}$+$\frac{3π}{10}$∈（0，$\frac{π}{2}$），
而y=sint在（0，$\frac{π}{2}$）上是增函數
∴$\frac{1}{5}$$\sqrt{{-m}^{2}+2m+3}$+$\frac{3π}{10}$＞$\frac{1}{5}$$\sqrt{{-m}^{2}+4}$+$\frac{3π}{10}$，
∴$\sqrt{{-m}^{2}+2m+3}$＞$\sqrt{{-m}^{2}+4}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{-m}^{2}+2m+3≥0}\\{{-m}^{2}+4≥0}\\{{-m}^{2}+2m+3＞{-m}^{2}+4}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1≤m≤3}\\{-2≤m≤2}\\{m＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得：$\frac{1}{2}$＜m≤2．
∴m的取值范圍是$\frac{1}{2}$＜m≤2．

點評 本題考查根據y=Asin（ωx+φ）的圖象求函數的解析式以及求函數的單調區間，問題（2）的設置，增加了題目的難度和新意，易錯點在于對ω $\sqrt{{-m}^{2}+2m+3}$+φ∈（0，$\frac{π}{2}$），ω $\sqrt{{-m}^{2}+4}$+φ∈（0，$\frac{π}{2}$）的分析與應用，考查靈活應用知識分析解決問題的能力和運算能力，體現了轉化的數學思想方法，屬于難題．