Question

【題目】在△ABC中，a，b，c分別為A，B，C所對邊，a+b=4，（2﹣cosA）tan =sinA．
（1）求邊長c的值；
（2）若E為AB的中點，求線段EC的范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：在△ABC中，∵（2﹣cosA）tan =sinA，a+b=4，

∴（2﹣cosA） =sinA，

即2sinC=sinA+sinAcosC+cosAsinC=sinA+sinB，

∴由正弦定理可得：2c=a+b=4，

∴c=2．

（2）∵c=2，E為AB的中點，

∴由余弦定理可得：CE2=AE2+AC2﹣2AEACcosA=a2+1﹣2acosB，

CE2=BE2+BC2﹣2BEBCcosB=b2+1﹣2bcosA，

∴兩式相加可得：CE2= ，

又∵cosB= ，cosA= ，a=4﹣b，

∴ ，

又∵ ，

∴1＜b＜3，

∴ ．

【解析】(1)由已知利用半角公式化簡條件式子，再根據正弦定理結合已知即可解得c的值。（2）利用已知以及余弦定理可得出 ,再結合可得出b的取值范圍，利用二次函數的性質即可解出 C E的范圍。
【考點精析】根據題目的已知條件，利用正弦定理的定義和余弦定理的定義的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握正弦定理:；余弦定理:;;．