Question

18．如圖，建立平面直角坐標系xoy，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長度為1千米．某炮位于坐標原點．已知炮彈發射后的軌跡在方程y=kx-$\frac{1}{20}$（1+k²）x²（k＞0）表示的曲線上，其中k與發射方向有關．炮的射程是指炮彈落地點的橫坐標．
（1）若k=2，求炮的射程；
（2）求炮的最大射程．

Answer 1

分析 （1）令y=0，求出對于的x的值即可；（2）令kx-$\frac{1}{20}$（1+k²）x²=0，求出x=$\frac{20k}{1{+k}^{2}}$，根據基本不等式的性質求出x的最大值即可．

解答 解：（1）當k=2時，$y=2x-\frac{1}{4}{x^2}$，
令y=0得x₁=8，x₂=0（舍去），
∴k=2時，炮的射程是8千米．-----（5分）
（2）在y=kx-$\frac{1}{20}$（1+k²）x²，（k＞0）中，
令y=0，得kx-$\frac{1}{20}$（1+k²）x²=0，
由實際意義和題設條件知x＞0，k＞0，
∴x=$\frac{20k}{1{+k}^{2}}$=$\frac{20}{k+\frac{1}{k}}$≤$\frac{20}{2}$=10，當且僅當k=1時取等號．
∴炮的最大射程是10千米．-----（12分）

點評 本題考查了二次函數的性質，考查基本不等式的性質，是一道基礎題．