Question

在如圖所示的四面體中，兩兩互相垂直，且.

   （Ⅰ）求證：平面平面；

   （Ⅱ）求二面角的大小；

   （Ⅲ）若直線與平面所成的角為，求線段的長度.

Answer 1

解法一：

（Ⅰ）證明: ，平面

       又平面，平面平面

   （Ⅱ），平面.

       是二面角的平面角.

       在中,，.

       二面角的大小為.

   （Ⅲ）過點B作，垂足為,連結.

       平面平面，平面，

       為與平面所成的角

.在中,，.

又在中,，，

       在中,.

       解法二：（Ⅰ）同解法一.

   （Ⅱ）設,建立如圖所示的空間直角坐標系

       則，，,， ,

平面的法向量.

       設平面的一個法向量為n ，

        n ， n ，=0,

       取，則， n .

        n ，

       二面角的大小為.

   （Ⅲ），，.

       設平面的一個法向量是m ，則m ，

       m

       令，則m，直線與平面所成角為，

       m，∴=1.