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已知雙曲線x2=1,過點A(2,1)的直線l與已知雙曲線交于P1P2兩點.

(1)求線段P1P2的中點P的軌跡方程;

(2)過點B(1,1)能否作直線l′,使l′與已知雙曲線交于兩點Q1Q2,且B是線段Q1Q2的中點?請說明理由.

(1) 中點P的軌跡方程是2x2y2-4x+y=0.(2)見解析


解析:

(1)解法一:設點P1P2的坐標分別為(x1y1)、(x2y2),中點P的坐標為(x,y),則有x12=1,x22=1,兩式相減,得

2(x1+x2)(x1x2)=(y1+y2)(y1y2).

x1x2,y≠0時,

x1+x2=2x,y1+y2=2y,

=.                                                                                                      ①

又由P1P2PA四點共線,

=.                                                                                                         ②

由①②得=,

即2x2y2-4x+y=0.

x1=x2時,x=2,y=0滿足此方程,故中點P的軌跡方程是2x2y2-4x+y=0.

解法二:設點P1P2、中點P的坐標分別為(x1,y1)、(x2,y2)、(x,y),

直線l的方程為y=k(x-2)+1,將l方程代入雙曲線x2=1中,

得(2-k2)x2+2k(2k-1)x+2k2-3=0,

x1+x2=,x1x2=,

y1+y2=k(x1+x2)+2-4k=.

于是             

y≠0時,由①②得k=.將其代入①,整理得2x2y2-4x+y=0.當l傾斜角為90°時,P點坐標為(2,0)仍滿足此方程,故中點P的軌跡方程為2x2y2-4x+y=0.

(2)假設滿足題設條件的直線l′存在,Q1Q2的坐標分別為(x3,y3)、(x4,y4),同(1)得2(x3+x4)(x3x4)=(y3+y4)(y3y4).

x3+x4=2,y3+y4=2,

=2(x3x4),

l′的斜率為2.

l′的直線方程為y-1=2(x-1),

y=2x-1.

∵方程組無解,與假設矛盾,

∴滿足條件的直線l′不存在.

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