Question

直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為

x= 6 cosθ y= 2 sinθ

（θ為參數），直線l的參數方程為

x= 3 2 t y=2- 1 2 t

（t為參數），T為直線l與曲線C的公共點．以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．
（Ⅰ）求點T的極坐標；
（Ⅱ）將曲線C上所有點的縱坐標伸長為原來的

3

倍（橫坐標不變）后得到曲線W，過點T作直線m，若直線m被曲線W截得的線段長為2

3

，求直線m的極坐標方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）曲線C的普通方程為

x2

6

+

y2

2

=1，將直線l的參數方程代人上式，解得t的值，可得點T的坐標，再化為極坐標．
（Ⅱ）依題知，坐標變換式為

x′=x y′= 3 y

，可得W的方程為x²+y²=6．分直線m的斜率不存在和直線m的斜率存在兩種情況，分別依據條件求得直線m的方程，再化為極坐標方程．

解答：解：（Ⅰ）曲線C的普通方程為

x2

6

+

y2

2

=1，將

x= 3 2 t y=2- 1 2 t

代人上式，
整理得t²-4t+4=0，解得t=2，故點T的坐標為(

3

， 1)，
故極徑ρ=

3+1

=2，極角θ滿足tanθ=

1

3

=

3

3

，結合點所在的象限可得θ=

π

6

，
故點T的極坐標為(2， 

π

6

)．…（5分）
（Ⅱ）依題知，坐標變換式為

x′=x y′= 3 y

，故W的方程為：

x2

6

+

( y 3 )2

2

=1，即x²+y²=6．
當直線m的斜率不存在時，其方程為x=

3

，顯然成立．
當直線m的斜率存在時，設其方程為y-1=k(x-

3

)，即kx-y-

3

k+1=0，
則由已知，圓心（0，0）到直線m的距離為

3

，故

|- 3 k+1|

k2+1

=

3

，
解得k=-

3

3

．此時，直線m的方程為y=-

3

3

x+2．
綜上，直線m的極坐標方程為：ρcosθ=

3

，或ρsinθ+

3

3

ρcosθ=2．…（10分）

點評：本題主要考查函數圖象的變換規律，極坐標方程和直角坐標方程的互化，點到直線的距離公式的應用，屬于中檔題．