Question

（2012•閘北區一模）設

a

、

b

為平面內兩個互相垂直的單位向量，向量

c

滿足(

c

+

a

)•(

c

-

b

)=0，則|

c

|的最大值為

2

．

Answer 1

分析：根據條件和(

c

+

a

)•(

c

-

b

)=0可得|

c

|2=-

c

•

a

+

c

•

b

=

c

•(

b

-

a

)然后再根據數量積的定義可得|

c

|2=|

c

||

b

- 

a

|cos＜

c

，

b

- 

a

＞再結合0≤＜

c

，

b

- 

a

＞≤π可得|cos＜

c

，

b

- 

a

＞|≤1即|

c

 |≤|

a

-

b

|從而可求出結果．

解答：解：∵(

c

+

a

)•(

c

-

b

)=0
∴兩邊平方可得|

c

|2+

c

•

a

-

c

•

b

-

a

• 

b

=0
∵

a

、

b

為平面內兩個互相垂直的單位向量
∴

a

• 

b

=0
∴|

c

|2+

c

•

a

-

c

•

b

=0
∴|

c

|2=-

c

•

a

+

c

•

b

=

c

•(

b

-

a

)
∴|

c

|2=|

c

||

b

- 

a

|cos＜

c

，

b

- 

a

＞
∵0≤＜

c

，

b

- 

a

＞≤π
∴|cos＜

c

，

b

- 

a

＞|≤1
∴|

c

 |≤|

a

-

b

|=

( a - b )2

=

| a |-2 a • b  +| b |2

=

2

∴|

c

|的最大值為

2

故答案為

2

點評：本題主要考察平面向量數量積的計算，屬常考題，較難．解題的關鍵是根據0≤＜

c

，

b

- 

a

＞≤π得到|cos＜

c

，

b

- 

a

＞|≤1進而建立關于|

c

|的不等式|

c

 |≤|

a

-

b

|！