Question

已知多項式f(n)＝n⁵＋n⁴＋n³－n．

(Ⅰ)求f(－1)及f(2)的值；

(Ⅱ)試探求對一切整數n，f(n)是否一定是整數？并證明你的結論．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)先用數學歸納法證明：對一切正整數n，是整數． 　　①當n＝1時，，結論成立． 　　②假設當n＝k(k≥1，k∈N)時，結論成立，即是整數，則當n＝k＋1時， 　　 　　＝ 　　根據假設是整數，而顯然是整數． 　　∴是整數，從而當當n＝k＋1時，結論也成立． 　　由①、②可知對對一切正整數n，是整數．7分 　　(Ⅱ)當n＝0時，是整數．8分 　　(Ⅲ)當n為負整數時，令n＝－m，則m是正整數，由(1)是整數， 　　所以 　　＝是整數． 　　綜上，對一切整數n，一定是整數．10分