Question

已知f（x）=1-

1

x

，g（x）=

1

1-x

，若實數a滿足對任意的x≠0，1，恒有|f（x）-g（x）|≥a，則a的最大值為

1

．

Answer 1

分析：令h（x）=f（x）-g（x），求出h（x）的取值范圍，將恒有|f（x）-g（x）|≥a，轉化為|f（x）-g（x）|_min≥a，從而求得a的取值范圍，即可求得a的最大值．

解答：解：∵f（x）=1-

1

x

，g（x）=

1

1-x

，
∴令h（x）=f（x）-g（x）=1-

1

x

-

1

1-x

=

-x2+x-1

-x2+x

=1+

1

x2-x

=1+

1

(x- 1 2 )2- 1 4

，
∵(x-

1

2

)2-

1

4

≥-

1

4

，
∴

1

(x- 1 2 )2- 1 4

≤-4，或

1

(x- 1 2 )2- 1 4

＞0，
∴1+

1

(x- 1 2 )2- 1 4

≤-3，或1+

1

(x- 1 2 )2- 1 4

＞1，
∴h（x）≤-3，或h（x）＞1，即f（x）-g（x）∈（-∞，-3]∪（1，+∞），
∴|f（x）-g（x）|∈（1，+∞），
∵對任意的x≠0，1，恒有|f（x）-g（x）|≥a，
∴|f（x）-g（x）|＞1≥a，
∴a的最大值為1．
故答案為：1．

點評：本題考查了二次函數的性質，以及函數的恒成立問題，函數恒成立問題一般會轉化為求函數的最值問題．對于有些無法取到最值的恒成立問題，則轉化成求函數的值域，進而可以求得參數的范圍，此類問題要特別注意等號是否能夠取到．屬于中檔題．