Question

已知向量

a

=(sin(ωx+φ)，2)，

b

=(1，cos(ωx+φ))(ω＞0，0＜φ＜

π

4

)，函數f(x)=(

a

+

b

)•(

a

-

b

)的圖象一個對稱中心與它相鄰的一條對稱軸之間的距離為1，且其圖象過點A(1，

7

2

)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）當x∈[-1，1]時，求f（x）的單調區間．

Answer 1

分析：（1）由已知中向量

a

=(sin(ωx+φ)，2)，

b

=(1，cos(ωx+φ))(ω＞0，0＜φ＜

π

4

)，函數f(x)=(

a

+

b

)•(

a

-

b

)，我們根據向量數量積的運算公式，及二倍角公式，結合圖象一個對稱中心與它相鄰的一條對稱軸之間的距離為1，且其圖象過點A(1，

7

2

)．求出ω，φ，得到函數的解析式．
（2）根據（1）的函數的解析式，根據正弦型函數的單調性，結合x∈[-1，1]，可以得到f（x）的單調區間．

解答：解：（1）f(x)=(

a

+

b

)•(

a

-

b

)=

a

2-

b

2
=sin²（wx+y）+4-1-cos²（wx+φ）=3-cos（2wx+2φ）（2分）
依題知：

7

4

=1∴T=4
即

2π

200

=4∴w=

π

4

又過點A(1，

7

2

)∴cos(

π

2

+2φ)=-

1

2

∵φ∈(0，

2

4

)∴2φ=

π

6

（4分）
∴f(x)=3-cos(

π

2

x+

π

6

)（6分）
（2）當x∈[-1，1]時，

π

2

x+

π

6

∈[-

π

3

，

2π

3

]
當

π

2

x+

π

6

∈[-

π

3

，0]時
即x∈[-1，-

1

3

]f（x）單減（9分）
同樣當x∈[-

1

3

，1]時f（x）單增（12分）

點評：本題考查的知識點正弦型函數解析式的求法，正弦型函數的單調性，其中根據已知條件，求出函數的周期，最值，向左平移量，特殊點坐標等，進而求出正弦型函數的解析式是解答本題的關鍵．