Question

已知曲線C：x²y+xy²=1，則曲線C關(guān)于對稱的序號有（　　）
（1）x軸對稱；（2）y軸對稱；（3）原點(diǎn)對稱；（4）直線y=x對稱；（5）直線y=-x對稱．

A．（3）（4）

B．（1）（5）

C．（4）

D．（2）（5）

Answer 1

分析：設(shè)（a，b）點(diǎn)在曲線上，則（a，b）點(diǎn)滿足方程x²y+xy²=1，然后判定（a，-b），（-a，b），（-a，-b），（b，a），（-b，-a）是否在曲線C上，從而得到結(jié)論．

解答：解：若（a，b）點(diǎn)在曲線上則a²b+ab²=1
令x=a，y=-b，則-a²b+ab²=1，故點(diǎn)（a，-b）不在曲線C上，即不關(guān)于x軸對稱；
令x=-a，y=b，則a²b-ab²=1，故點(diǎn)（-a，b）不在曲線C上，即不關(guān)于y軸對稱；
令x=-a，y=-b，則-a²b-ab²=1，故點(diǎn)（-a，-b）不在曲線C上，即不關(guān)于原點(diǎn)對稱；
令x=b，y=a，則ab²+a²b=1，故點(diǎn)（b，a）在曲線C上，即關(guān)于直線y=x對稱；
令x=-b，y=-a，則-ab²-a²b=1，故點(diǎn)（-b，-a）不在曲線C上，即不關(guān)于直線y=-x對稱．
故選C．

點(diǎn)評：本題主要考查的知識點(diǎn)是曲線的對稱性，當(dāng)（a，b）點(diǎn)在曲線上時，（-a，-b）點(diǎn)也在曲線上，則曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱；當(dāng)（a，b）點(diǎn)在曲線上時，（-a，b）點(diǎn)也在曲線上，則曲線關(guān)于y軸對稱；當(dāng)（a，b）點(diǎn)在曲線上時，（a，-b）點(diǎn)也在曲線上，則曲線關(guān)于x軸對稱；當(dāng)（a，b）點(diǎn)在曲線上時，（b，a）點(diǎn)也在曲線上，則曲線關(guān)于直線x-y=0對稱；當(dāng)（a，b）點(diǎn)在曲線上時，（-b，-a）點(diǎn)也在曲線上，則曲線關(guān)于直線x-y=0對稱，屬于基礎(chǔ)題．