Question

CD是直角三角形ABC斜邊上的高，BD=2AD，將△ACD繞CD旋轉到△A′CD，使二面角A′-CD-B為60°．
（1）求證：BA′⊥面A′CD；
（2）求異面直線A′C與BD所成角的余弦．

Answer 1

分析：（1）要證明線面垂直常采用線面垂直的判定定理證明即可根據(jù)CD是直角三角形ABC斜邊上的高得出CD⊥A^′B再根據(jù)將△ACD繞CD旋轉到△A′CD，使二面角A′-CD-B為60°且BD=2AD可得出△BAA′D為直角三角形即A′D⊥A′B然后根據(jù)線面垂直的判定定理即可得證．
（2）根據(jù)異面直線所成的角的定義可過A'作BD的平行線A′E然后構造平行四邊形A′BDE則根據(jù)異面直線所成的角的定義可得∠CA′E異面直線A′C與BD所成角然后再利用余弦定理求解即可．

解答：證明：（1）∵BD=2AD
∴BD=2AD
∵二面角A′-CD-B為60°，∠BDA為二面角A′-CD-B的平面角
∴∠BDA=60°
∴△BAA′D為直角三角形
∴A′D⊥A′B
又∵CD⊥A′B，CD∩A′D=D
∴BA′⊥面A′CD
（2）過A′作BD的平行線A′E然后構造平行四邊形BA′DE
∴根據(jù)異面直線所成的角的定義可得∠CA′E異面直線A′C與BD所成角
設AD=1
∴BD=2，A′B=

3

，CD=

2

，A′D=1，CE=

5

∴由余弦定理得：cos∠CA′E=

A′C2+A′E2- EC2

2A′C•A′E

=

3

6

即異面直線A′C與BD所成角的余弦為

3

6

點評：本題主要考察了線面垂直的證明和異面直線所成的角的求解，屬常考題型，較難．解題的關鍵是要掌握線面垂直證明的常用方法：線面垂直的判定定理或向量法而異面直線所成的角的求解常用定義法或向量法！