Question

如圖，已知三棱錐A-BCD的側視圖，俯視圖都是直角三角形，尺寸如圖所示．
（1）求異面直線AB與CD所成角的余弦值；
（2）在線段AC上是否存在點F，使得BF⊥面ACD？若存在，求出CF的長度；若不存在說明理由．

Answer 1

分析：（1）取BD的中點O，連AO，以O為原點建立空間直角坐標系，分別求出異面直線AB與CD的方向向量，代入向量夾角公式，即可得到異面直線AB與CD所成角的余弦值；
（2）設

CF

=λ

CA

，根據BF⊥面ACD，則BF⊥CA，BF⊥AD，我們分別求出BF，CA，AD對應向量的坐標，結合向量垂直數量積為0，可以構造關于λ的方程，解方程求出滿足條件的λ值，進而即可求出CF的長度；

解答：解：（1）取BD的中點O，連AO，則AO⊥面CBD．
以O為原點建立空間直角坐標系，如圖．
A（0，0，1），B（1，0，0），C（1，2

3

，0），D（-1，0，0）．

AB

=(1，0，-1)，

CD

=(-2，-2

3

，0)，cos＜

AB

，

CD

＞=-

2

4

．
所以所求異面直線AB與CD所成角的余弦值為

2

4

；                       （5分）
（2）設

CF

=λ

CA

，
則

BF

=

BC

+

CF

=(-λ，2

3

(1-λ)，λ)
由BF⊥面ACD得：

BF • CA =2λ-12(1-λ)=0 BF • AD =λ-λ=0

解得λ=

6

7

，
|

CF

|=

6

7

|

CA

|=

6

7

14

，（5分）

點評：本題考查的知識點是異面直線及其所成的角，直線與平面垂直的判定與性質，其中建立空間直角坐標系，將空間中直線與直線的夾角問題，直線與直線的垂直問題轉化為向量問題是解答本題的關鍵．