Question

工人師傅要用鐵皮做一個上大下小的正四棱臺形容器（上面開口），使其容積為208立方分米，高為4分米，上口邊長與下底面邊長的比為5：2，做這樣的容器需要多少平方分米的鐵皮？（不計容器的厚度和加工余量，不要求寫出已知、求解，直接求解并畫圖即可）

Answer 1

分析：設下下底邊長分別為5x，2x，以之表示出體積，用體積為208立方分米建立關于x的方程即可求出上、下底邊的邊長．再用表面積公式求出其表面積即可知道做這樣的容器需要多少平方分米的鐵皮．

解答：解：設正四棱臺形容器上口邊長AB=5x，則下底面邊長A₁B₁=2x，設表面積為S．
因正四棱臺的體積
V=

1

3

h(s1+s2+

s1s2

)．
∴208=

1

3

•4•[(5x)2+(2x)2+5x•2x]，
∴x²=4，∴x=2，
∴AB=10（分米），A₁B₁=4（分米）．
由此可得
S=A1B12+4•

1

2

•(AB+A1B1)•FF1
=42+4•

1

2

•(10+4)•

42+( 10-4 2 )2

=156（平方分米）=1.56（平方米）
故共需鐵皮1.56平方米．

點評：考查正四棱臺的表面積與體積公式，訓練答題者的空間想象能力與正四棱臺的結構．