Question

設正整數構成的數列{an}使得a10k﹣9+a10k﹣8+…+a10k≤19對一切k∈N*恒成立．記該數列若干連續項的和為S（i，j），其中i，j∈N*，且i＜j．求證：所有S（i，j）構成的集合等于N*．

 

Answer 1

見解析

【解析】

試題分析：顯然S（i，j）∈N*，證明對任意n0∈N*，存在S（i，j）=n0．考慮10n0+10個前n項和，再考慮如下10n0+10個正整數：S1+n0＜S2+n0＜…＜S10n0+10+n0，由抽屜原理，必有兩個相等，可得結論．

證明：顯然S（i，j）∈N*． （2分）

下證對任意n0∈N*，存在S（i，j）=n0．

用Sn表示數列{an}的前n項和，考慮10n0+10個前n項和：S1＜S2＜…＜S10n0+10，（1）

由題設S10n0+10=（a1+a2+…+a10）+（a11+a12+…+a20）+…+（a10n0+1+a10n0+2+…+a10n0+10） （6分）

另外，再考慮如下10n0+10個正整數：S1+n0＜S2+n0＜…＜S10n0+10+n0，（2）

顯然S10n0+10+n0≤20n0+19 （10分）

這樣（1），（2）中出現20n0+20個正整數，都不超過20n0+19，

由抽屜原理，必有兩個相等．

由于（1）式中各數兩兩不相等，（2）式中各數也兩兩不等，

故存在i，j∈N*，使得Sj=Si+n0，即j＞i，且n0=Sj﹣Si=S（i，j）．

所以，所有S（i，j）構成的集合等于N*． （16分）