Question

已知長方體一個頂點上的三條棱的長別是3，4，x，且它的8個頂點都在同一個球面上，這個球的表面積為125π，則x=

10

．（球的表面積公式S=4πR²，其中R表示球的半徑）

Answer 1

分析：根據球的表面積公式，算出半徑R滿足R²=

125

4

，從而算出長方體對角線的平方等于125，再由對角線長公式建立關于x的方程，即可解出x的值．

解答：解：由題意，該球是長方體的外接球．設球的半徑為R，
∵球的表面積為125π，∴4πR²=125π，解得R²=

125

4

因此，長方體的對角線長滿足l²=（2R）²=125
可得3²+4²+x²=125，解之得x=10（舍負）
故答案為：10

點評：本題給出長方體的外接球面積，在已知長、寬的情況下求高的值．著重考查了長方體的對角線長公式、球的表面積公式等知識，屬于基礎題．