Question

設數列的首項，前項和滿足關系式：
（1）求證：數列是等比數列；
（2）設數列是公比為，作數列，使，
求和：；
（3）若，設，，
求使恒成立的實數k的范圍.

Answer 1

解：（1）見解析；
（2）=

==
（3）．

本試題主要是考查了數列的通項公式的運用以及數列求和的綜合運用
（1）由，得
，則，于是
又兩式相減得
于是
因此得證。
（2）按題意，
故
由，可知數列與是首項分別為和，公差均為的等差數列，然后求解和式
（3）根據通項公式的裂項求和得到結論。
解：（1）由，得
，則，于是
又兩式相減得
于是
因此，數列是首項為1，公比為的等比數列
（2）按題意，
故
由，可知數列與是首項分別為和，公差均為的等差數列，且，于是
=
==
（3）．
故．
．
所以數列的前n項和為。化簡得對任意恒成立．
設，則……．
當為單調遞減數列，為單調遞增數列．
當,,為單調遞減數列，當,,為單調遞增數列．
，所以，n=5時，取得最大值為．
所以，要使對任意恒成立，．