Question

已知ABC-A₁B₁C₁為正三棱柱，D是AC的中點（如圖所示）．
（Ⅰ）證明；AB₁∥平面DBC₁；
（Ⅱ）若AB₁⊥BC₁，BC=2．求二面角D-BC₁-C的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）證明線面平行的關鍵是證明AB₁平行于平面DBC₁內的一條直線，利用中位線的性質，可證；
（Ⅱ）根據AB₁⊥BC₁，OD∥AB₁，可得OD⊥BC₁，過O作OH⊥BC₁于H，則OH=

3

2

，∠HOD為所求二面角D-BC₁-C的平面角，再分別求出OD，DH的長，利用余弦定理可求．

解答：（Ⅰ）證明：連接CB₁交BC₁于O，連接OD
∵ABC-A₁B₁C₁為正三棱柱
∴O是BC₁的中點，
∵D是AC的中點
∴OD∥AB₁，
∵OD?面DBC₁，AB₁?面DBC₁，
∴AB₁∥平面DBC₁．
（Ⅱ）解：∵AB₁⊥BC₁，OD∥AB₁，
∴OD⊥BC₁，又O為BC₁中點，∴DB=DC₁=

3

∴CC1=

2

過O作OH⊥BC₁于H，連接DH，則OH=

3

2

，∠HOD為所求二面角D-BC₁-C的平面角
∵BO=

6

2

，OH=

3

2

∴BH=

3

2

∴DH2=12+(

1

2

)2-2×1×

1

2

×cos60°
∴DH=

3

2

在△DOH中，OD=

6

2

，OH=

3

2

，DH=

3

2

cos∠HOD=

2

2

∴∠HOD=45°
即二面角D-BC₁-C的平面角為45°．

點評：本題以正三棱柱為載體，考查線面平行，考查面面角，正確運用線面平行的判定，作出面面角是解題的關鍵．