Question

已知函數f(x)=ax3-3x2+1-

3

a

．
（I）討論函數f（x）的單調性；
（Ⅱ）若曲線y=f（x）上兩點A、B處的切線都與y軸垂直，且線段AB與x軸有公共點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先對函數f（x）進行求導，根據導函數大于0原函數單調遞增，導函數小于0原函數單調遞減進行討論．
（2）由題意可值點AB應是函數f（x）的極值點，再根據線段AB與x軸有公共點可知以f(0)•f(

2

a

)≤0，從而得到答案．

解答：解：（Ⅰ）由題設知a≠0，f′(x)=3ax2-6x=3ax(x-

2

a

)．
令f′(x)=0得x1=0，x2=

2

a

．
當（i）a＞0時，
若x∈（-∞，0），則f'（x）＞0，
所以f（x）在區間(-∞，

2

a

)上是增函數；
若x∈(0，

2

a

)，則f'（x）＜0，
所以f（x）在區間(0，

2

a

)上是減函數；
若x∈(

2

a

，+∞)，則f'（x）＞0，
所以f（x）在區間(

2

a

，+∞)上是增函數；
（ii）當a＜0時，
若x∈(-∞，

2

a

)，則f'（x）＜0，
所以f（x）在區間(-∞，

2

a

)上是減函數；
若x∈(0，

2

a

)，則f'（x）＜0，
所以f（x）在區間(0，

2

a

)上是減函數；
若x∈(

2

a

，0)，則f'（x）＞0，
所以f（x）在區間(

2

a

，0)上是增函數；
若x∈（0，+∞），則f'（x）＜0，
所以f（x）在區間（0，+∞）上是減函數．
（Ⅱ）由（Ⅰ）的討論及題設知，曲線y=f（x）上的兩點A、B的縱坐標為函數的極值，
且函數y=f（x）在x=0，x=

2

a

處分別是取得極值f(0)=1-

3

a

，f(

2

a

)=-

4

a2

-

3

a

+1．
因為線段AB與x軸有公共點，所以f(0)•f(

2

a

)≤0．
即(-

4

a2

-

3

a

+1)(1-

3

a

)≤0．
所以

(a+1)(a-3)(a-4)

a2

≤0．
故（a+1）（a-3）（a-4）≤0，且a≠0．
解得-1≤a＜0或3≤a≤4．
即所求實數a的取值范圍是（-∞，-1]∪[3，4]．

點評：本題主要考查導函數的正負和原函數的增減性、極值點的關系．屬中檔題．導數是高考的必考點，要給予重視．