Question

（本小題滿分13分）

已知函數

（1）當時，求曲線處的切線方程；

（2）設的兩個極值點，的一個零點，且證明：存在實數按照某種順序排列后構成等差數列，并求．

 

Answer 1

【答案】

 

（1）y=x - 2

（2）

【解析】（本小題滿分13分）

（1）解：當a=1,b=2時，

因為f’（x）=（x-1）（3x-5）     …………．．2分

故               ……………．3分

f（2）=0,                  ……………．4分

所以f（x）在點（2,0）處的切線方程為y=x - 2     ………．．5分

（2）證明：因為f′（x）＝3（x－a）（x－），……………．7分

由于a<b．   故a<．

所以f（x）的兩個極值點為x＝a，x＝      ………．．9分

不妨設x1＝a，x2＝，

因為x3≠x1，x3≠x2，且x3是f（x）的零點，

故x3＝b．                                      ……………．10分

又因為－a＝2（b－），

x4＝（a＋）＝，

所以a，，，b依次成等差數列，         

所以存在實數x4滿足題意，且x4＝．……………………．13分