Question

9、定義在R上的偶函數f（x）滿足f（x+1）=-f（x），且在[-1，0]上是增函數，給出下列關于f（x）的判斷：
①f（x）是周期函數；
②f（x）關于直線x=1對稱；
③f（x）在[0，1]上是增函數；
④f（x）在[1，2]上是減函數；
⑤f（2）=f（0），
其中正確的序號是

①②⑤

．

Answer 1

分析：首先理解題目f（x）定義在R上的偶函數，則必有f（x）=f（-x），又有關系式f（x+1）=-f（x），兩個式子綜合起來就可以求得周期了．再根據周期函數的性質，且在[-1，0]上是增函數，推出單調區間即可．

解答：解：∵定義在R上的偶函數f（x）滿足f（x+1）=-f（x），
∴f（x）=-f（x+1）=-[-f（x+1+1）]=f（x+2），
∴f（x）是周期為2的函數，則①正確．
又∵f（x+2）=f（x）=f（-x），
∴y=f（x）的圖象關于x=1對稱，②正確，
又∵f（x）為偶函數且在[-1，0]上是增函數，
∴f（x）在[0，1]上是增函數，
又∵對稱軸為x=1．
∴f（x）在[1，2]上為增函數，f（2）=f（0），
故③④錯誤，⑤正確．
故答案應為①②⑤．

點評：此題主要考查偶函數及周期函數的性質問題，其中涉及到函數單調性問題．對于偶函數和周期函數是非常重要的考點，需要理解記憶．