Question

已知函數f（x）是定義在R上的偶函數，且x≥0時，f（x）=(

1

2

)x．
（Ⅰ）求函數f（x）的值域A；
（Ⅱ）設函數g（x）=

-x2+(a-1)x+a

的定義域為集合B，若A⊆B，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）根據偶函數的性質可知，只需研究x≥0時，f（x）的取值范圍即為函數的值域，根據指數函數的單調性可求出所求；
（II）根據偶次根式的被開方數大于等于0，以及A⊆B建立關系式，可求出a的取值范圍．

解答：解：（I）由函數f（x）是定義在R上的偶函數，可得函數f（x）的值域A即為x≥0時，f（x）的取值范圍．
當x≥0時，0＜(

1

2

)x≤1，故函數f（x）的值域A=（0，1]
（II）∵g（x）=

-x2+(a-1)x+a

∴定義域B={x|-x²+（a-1）x+a≥0}
由-x²+（a-1）x+a≥0得x²-（a-1）x-a≤0，
即 （x-a）（x+1）≤0
∵A⊆B∴B=[-1，a]且a≥1
∴實數a的取值范圍是{a|a≥1}

點評：本題主要考查了函數奇偶性的性質，以及函數的單調性和一元二次不等式的解法，同時考查了計算能力，屬于基礎題．