Question

選修4-4：坐標系與參數方程
已知極點O與原點重合，極軸與x軸的正半軸重合．點A，B的極坐標分別為（2，π），(2

2

，

π

4

)，曲線C的參數方程為

x=sinα y=1+cos2α

(α為參數)．
（Ⅰ）求△AOB的面積；
（Ⅱ）求直線AB與曲線C的交點．

Answer 1

分析：（I）利用極坐標的含義，得到三角形的邊長和角AOB，從而利用三角形的面積公式求出三角形面積即可．
（II）先消去參數方程中的參數得曲線C的普通方程；利用直角坐標與極坐標間的關系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進行代換將直角坐標化成極坐標，求出直線AB的方程，將直線AB方程代入曲線C的普通方程，即可求得曲線C與直線的交點坐標．

解答：解：（Ⅰ）解：S_△AOB=

1

2

×2×2

2

×sin135°=2-----------（2分）
（Ⅱ）在直角坐標系中A（-2，0），B（2，2），所以AB：x=2y-2----（3分）
直線C：y=2-x²，x∈[-1，1]，y∈[1，2]-----------------（5分）
聯立得：2x²+x-2=0，解得：x=

-1± 17

4

（舍負），
得交點（

-1+ 17

4

，

7+ 17

8

）----（7分）

點評：本題考查點的極坐標和直角坐標的互化，能在極坐標系中用極坐標刻畫點的位置，體會在極坐標系和平面直角坐標系中刻畫點的位置的區別，能進行極坐標和直角坐標的互化．