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已知定義在R上的函數f(x),滿足條件:①f(x)+f(-x)=2,②對非零實數x,都有
(1)求函數f(x)的解析式;
(2)設函數,直線與函數y=g(x)交于An,又Bn為An關于直線y=x的對稱點,(其中n∈N*),求|AnBn|;
(3)設an=|AnBn|,Sn為數列{an}的前n項和,求證:當n≥2時,
【答案】分析:(1)當x≠0時,由,可得,兩式聯立,即可得函數f(x)的解析式;
(2)由(1)得,直線與函數y=g(x)聯立,求出An、Bn的坐標,從而可求|AnBn|;
(3)由(2)知,利用,可得當n≥2時,,累加得:,從而可證結論.
解答:解:(1)當x≠0時,,故 
兩式聯立可得,f(x)=x+1(x≠0)
又當x=0時,有f(0)=1,∴f(x)=x+1;
(2)由(1)得,直線與函數y=g(x)聯立可得

由此可得
所以,
(3)由(2)知
,∴
∴當n≥2時,,…,
累加得:
又∵==

點評:本題考查函數的解析式,考查兩點間的距離,考查不等式的證明,解題的關鍵是確定點的坐標,疊加法研究數列的和.
練習冊系列答案
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已知定義在R上的函數y=f(x)滿足下列條件:
①對任意的x∈R都有f(x+2)=f(x);
②若0≤x1<x2≤1,都有f(x1)>f(x2);
③y=f(x+1)是偶函數,
則下列不等式中正確的是(  )

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已知定義在R上的函數f(x)滿足:f(x)=
f(x-1)-f(x-2),x>0
log2(1-x),       x≤0
  則:
①f(3)的值為
0
0

②f(2011)的值為
-1
-1

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1,(-1<x≤0)
-1,(0<x≤1)
,則f(3)=(  )

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A、-2B、2C、4D、-4

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A、0B、2013C、3D、-2013

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同步練習冊答案
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