Question

【題目】已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，一條漸近線方程為，右焦點(diǎn)，雙曲線的實(shí)軸為，為雙曲線上一點(diǎn)（不同于，），直線，分別與直線交于，兩點(diǎn)．

（）求雙曲線的方程．

（）證明為定值．

Answer 1

【答案】（）．（）見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：(Ⅰ)先設(shè)雙曲線方程為:,根據(jù)題意可得關(guān)于a、b的方程組,解可得答案.

(Ⅱ)根據(jù)題意,易得、、, 設(shè)，,易得向量，,又由共線向量的坐標(biāo)運(yùn)算,可得M的坐標(biāo),進(jìn)而可得N的坐標(biāo),由此可得:的坐標(biāo),即可得,結(jié)合雙曲線的方程,代換可得證明.

試題解析：（）依題意可設(shè)雙曲線方程為：，

則，

∴所求雙曲線方程為．

（）、、，

設(shè)，，，，

∵、、三點(diǎn)共線，

∴，

∴即，

同理得，

，，

則，

∵，

∴．

∴即（定值）．

點(diǎn)睛;定點(diǎn)、定值問(wèn)題通常是通過(guò)設(shè)參數(shù)或取特殊值來(lái)確定“定點(diǎn)”是什么、“定值”是多少，或者將該問(wèn)題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問(wèn)題，證明該式是恒定的. 定點(diǎn)、定值問(wèn)題同證明問(wèn)題類似，在求定點(diǎn)、定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時(shí)應(yīng)設(shè)參數(shù)，運(yùn)用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點(diǎn)、定值顯現(xiàn).