Question

已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，離心率為，橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）若過點P（0，m）的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，且，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題設條件知，由此能求出橢圓方程． 
（Ⅱ）若過點P（0，m）的斜率不存在，則．若過點P（0，m）的直線斜率為k，即：時，直線AB的方程為y-m=kx．由，△=64m²k²-4（3+4k²）（4m²-12）．因為AB和橢圓C交于不同兩點，所以△＞0．由此能求出實數m的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）設所求的橢圓方程為：
由題意：
所求橢圓方程為：．…（5分）
（Ⅱ）若過點P（0，m）的斜率不存在，則．
若過點P（0，m）的直線斜率為k，
即：時，
直線AB的方程為y-m=kx
由，
△=64m²k²-4（3+4k²）（4m²-12），
因為AB和橢圓C交于不同兩點，
所以△＞0，4k²-m²+3＞0，
所以4k²＞m²-3    ①
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由已知，
則    ②
-x₁=3x₂ ③
將③代入②得：
整理得：16m²k²-12k²+3m²-9=0
所以代入①式，
得，
解得．
所以或．
綜上可得，實數m的取值范圍為：．…（14分）
點評：通過幾何量的轉化考查用待定系數法求曲線方程的能力，通過直線與圓錐曲線的位置關系處理，考查學生的運算能力．通過向量與幾何問題的綜合，考查學生分析轉化問題的能力，探究研究問題的能力，并體現了合理消元，設而不解的代數變形的思想．