Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx （a，b為常數，且a≠0），滿足條件f（1+x）=f（1-x），且方程f（x）=x有等根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在實數m、n（m＜n），使f（x）的定義域和值域分別為[m，n]和[3m，3n]，如果存在，求出m、n的值，如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知中f （1+x）=f （1-x），可得f（x）的圖象關于直線x=1對稱，結合方程f （x）=x有等根其△=0，我們可構造關于a，b的方程組，解方程組求出a，b的值，即可得到f （x）的解析式；
（2）由（1）中函數的解析式，我們根據f（x）的定義域和值域分別為[m，n]和[3m，3n]，我們易判斷出函數在[m，n]的單調性，進而構造出滿足條件的方程，解方程即可得到答案．

解答：解：（1）∵f（x）滿足f（1+x）=f（1-x），∴f（x）的圖象關于直線x=1對稱．
而二次函數f（x）的對稱軸為x=-

b

2a

，∴-

b

2a

=1．①
又f（x）=x有等根，即ax²+（b-1）x=0有等根，∴△=（b-1）²=0．②
由①，②得 b=1，a=-

1

2

．∴f（x）=-

1

2

x²+x．
（2）∵f（x）=-

1

2

x²+x=-

1

2

（x-1）²+

1

2

≤

1

2

．
如果存在滿足要求的m，n，則必需3n≤

1

2

，∴n≤

1

6

．
從而m＜n≤

1

6

＜1，而x≤1，f（x）單調遞增，
∴

f(m)=- 1 2 m2+m=3m f(n)=- 1 2 n2+n=3n

，
可解得m=-4，n=0滿足要求．
∴存在m=-4，n=0滿足要求．

點評：本題考查的知識點是二次函數的性質，其中（1）的關鍵是由已知條件構造關于a，b的方程組，（2）的關鍵是根據函數的值域判斷出函數在[m，n]的單調性，進而構造出滿足條件的方程．