Question

如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2

2

，一個邊長2的正方形由位置Ⅰ沿AB邊平行移動到位置Ⅱ，若移動的距離為x，正方形和三角形的公共部分的面積為f（x）．
（1）求f（x）的解析式；（2）在坐標系中畫出函數y=f（x）的草圖；
（3）根據圖象，指出函數y=f（x）的最大值和單調區間．

Answer 1

分析：（1）將一個邊長為2的正方形由位置Ⅰ沿AB平行移動到位置Ⅱ停止，若移動的距離為x，此時正方形和△ABC的公共部分分為三種情況，然后分別求出公共部分的面積為f（x）；
（2）根據分段函數的作圖方法進行作圖；
（3）根據函數圖象可得函數的最大值和函數的單調區間．

解答：解：（1）當x∈[0，2]時，正方形和△ABC的公共部分是等腰直角三角形
∴f（x）=

1

2

x2
當x∈（2，4]時，正方形和△ABC的公共部分是兩個直角梯形
f（x）=4-

1

2

(x-2)2-

1

2

(4-x)2
當x∈（4，6]時，正方形和△ABC的公共部分是等腰直角三角形
f（x）=

1

2

[2-(x-4) ]  2
綜上所述：f(x)=

1 2 x2 4- 1 2 (x-2)2- 1 2 (4-x)2 1 2 [2-(x-4)]2

x∈[0，2] x∈(2，4] x∈(4，6]

即f(x)=

1 2 x2，(0≤x≤2) -x2+6x-6，(2＜x＜4) 1 2 (x-6)2，(4≤x≤6)

；
（2）分段畫出圖象

（3）根據圖象可知當x=3時，函數值最大為3；
單調增區間為[0，3]，單調減區間為[3，6]．

點評：本題主要考查了函數模型的選擇與應用，以及分段函數的最值及其幾何意義和函數圖象的作法，屬于中檔題．