Question

【題目】設p：f（x）＝1+ax,在（0，2]上f（x）≥0恒成立,q函數g（x）＝ax+2lnx在其定義域上存在極值．

(1)若p為真命題,求實數a的取值范圍；

(2)如果“p∨q”為真命題,“p∧q”為假命題,求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)[，+∞）(2)（﹣∞，）∪[0，+∞）

【解析】

(1)進行常變量分離,求出反比例函數在區間（0，2]的取值范圍,最后可以求出實數a的取值范圍；

(2)求出當q為真命題時, 實數a的取值范圍,然后根據或命題的真假的定義,分類討論求出實數a的取值范圍．

(1)若p為真命題，則a，x∈（0，2]恒成立，所以a≥（）max，當x∈（0，2]時

,即a的取值范圍為[，+∞）；

(2)若q為真命題：函數g（x）＝ax+2lnx在其定義域上存在極值；

由于g′（x）＝a,x＞0

若a≥0,g'（x）＞0，g（x）在定義域單調遞增，在其定義域上不存在極值，不符合題意；

若a＜0,則g′（x）＝a0，則x，

當0＜x時,g'（x）＞0，g（x）單調遞增；

當x時,g'（x）＜0，g（x）單調遞減；

∴x時,g（x）在x時有極大值

所以，若q為真命題，則a＜0.

因為“p或q”為真命題,“p且q”為假命題,所以命題p與q一真一假.

①p真q假時,則，解得a≥0，

②p假q真時,則，解得a；

綜上所述:a的取值范圍為（﹣∞，）∪[0，+∞）．