Question

設△ABC的內角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，且滿足a²+c²-b²=

3

ac
（1）求角B的大小；
（2）若2bcosA=

3

(ccosA+acosC)，BC邊上的中線AM的長為

7

，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）利用余弦定理表示出cosB，將已知等式變形后代入求出cosB的值，由B為三角形內角，利用特殊角的三角函數值即可求出B的度數；
（2）利用正弦定理化簡已知等式，求出cosA的值，由A為三角形內角，利用利用特殊角的三角函數值求出A的度數，確定出C的度數，設|AC|=m，則|BC|=m，|AB|=

3

m，|CM|=

1

2

m，利用余弦定理列出關于m的方程，求出方程的解得到m的值，確定出|CA|與|CB|，即可確定出三角形ABC的面積．

解答：解：（1）∵a²+c²-b²=

3

ac，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

3 ac

2ac

=

3

2

，
∵B為三角形內角，
∴B=

π

6

；
（2）由正弦定理：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

，
將2bccosA=

3

（ccosA+acosC）化簡得：2sinBcosA=

3

（sinCcosA+sinAcosC），即2sinBcosA=

3

sinB，
∴cosA=

3

2

，
∴A=

π

6

，C=

2π

3

，
設|AC|=m，則|BC|=m，|AB|=

3

m，|CM|=

1

2

m，
由余弦定理可知：|AM|²=|CM|²+|AC|²-2|AM||AC|cos

2π

3

，即7=

1

4

m²+m²+

1

2

m，
解得：m=2，
則S_△ABC=

1

2

|CA|•|CB|•sin

2π

3

=

3

．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，兩角和與差的余弦函數公式，以及三角形的面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．