Question

設函數f（x）=2^x-ax+1．
（Ⅰ）利用計算機軟件（如幾何畫板）探求a=2和a=3時函數f（x）的零點個數；
（Ⅱ）當a∈R時，函數f（x）的零點是怎樣分布的？

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用幾何畫板得到函數f（x）在a=2和a=3時的函數圖象，進而得到此時零點個數；
（Ⅱ）利用幾何畫板建立在實數范圍內變化參數a，并得到函數f（x）在a=2.48時的圖象只有一個零點，
進而得到當a∈R時，函數f（x）的零點個數．

解答：解：（Ⅰ）利用幾何畫板得到函數f（x）=2^x-2x+1的函數圖象，如圖1所示，得到函數f（x）=2^x-2x+1沒有零點；
利用幾何畫板得到函數f（x）=2^x-3x+1的函數圖象，如圖2所示，得到函數f（x）=2^x-3x+1有兩個零點；

（Ⅱ）利用幾何畫板得到函數f（x）在a=2.48時的圖象只有一個零點，如圖3所示，

則①當a＜0或a=2.48時，函數f（x）=2^x-ax+1只有一個零點；
②當a∈[0，2.48）時，函數f（x）=2^x-ax+1沒有零點；
③當a∈[2.48，+∞）時，函數f（x）=2^x-ax+1有兩個零點；

點評：本題考查函數的圖象與函數的零點，屬于基礎題．