Question

已知橢圓，拋物線，過橢圓C₁右頂點的直線l交拋物線C₂于A，B兩點，射線OA，OB分別與橢圓交于點D，E，點O為原點．
（Ⅰ）求證：點O在以DE為直徑的圓的內部；
（Ⅱ）記△ODE，△OAB的面積分別為S₁，S₂，問是否存在直線l使S₂=3S₁？若存在，求出直線l的方程，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l：x=my+2，代入y²=4x，根據方程的根與系數關系可求y₁+y₂，y₁y₂，要證明點O在以DE為直徑的圓的內部；只要證明即可
（2）設D（x₃，y₃），E（x₄，y₄），則射線，代入得，同理可得，代入檢驗即可驗證
解答：（1）證明：設直線l：x=my+2，代入y²=4x得y²-4my-8=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-8，x₁x₂=（my₁+2）（my₂+2）=m²y₁y₂+2m（y₁+y₂）+4
∴=
∴∠AOB＞90°即∠DOE＞90°
∴點O在以DE為直徑的圓的內部
（2）設D（x₃，y₃），E（x₄，y₄）
則射線，代入得，
同理
∴===
=
=
==9
∴m²=
故不存在滿足條件的直線l
點評：本題主要考查了直線與拋物線的 相交關系的應用，方程的根與系數關系的應用，屬于綜合性試題