Question

某企業對所屬A，B，C三個部門的員工進行業務能力調查，按部分采用分層抽樣方法抽取11人，見表．

部門	A	B	C
總人數	72	24	z
抽取人數	6	x	y

（1）求x，y，z的值；
（2）在B，C兩部門抽到的人中隨機抽取兩人進行某種特殊技能測試，求B部門至少抽到一人的概率；
（3）在（2）中抽到的甲乙兩人被通知于某日下午14點至16點間獨立選擇時間到達指定地點，并立即參加30分鐘技能測試，求存在在某一時刻，甲乙兩人均在指定地點參加測試的概率．

Answer 1

分析：（1）根據分層抽樣的定義和方法可得

6

72

=

x

24

=

y

z

，且 6+x+y=11，由此求得x，y，z的值．
（2）由題意可得，在B，C兩部門分別有2人、3人，由此求得B部門沒有人被抽到的概率，再用1減去此概率，即得所求．
（3）設甲乙兩人到達指定地點的時刻分別為x，y，可得試驗包含的所有事件是Ω={（x，y）|14≤x≤16，14≤y≤16}，做出事件對應的集合表示的面積，寫出滿足條件的事件是A={（x，y）|14≤x≤1，0≤y≤1，|x-y|≤0.5}，算出事件對應的集合表示的面積，根據幾何概型概率公式得到結果．

解答：解：（1）根據分層抽樣的定義和方法可得

6

72

=

x

24

=

y

z

，且 6+x+y=11．
解得 x=2，y=3，z=36．
（2）由題意可得，在B，C兩部門分別有2人、3人，則在B，C兩部門抽到的人中隨機抽取兩人進行某種特殊技能測試，B部門沒有人被抽到的概率為

C 2 3

C 2 5

=0.3，
故求B部門至少抽到一人的概率為1-0.3=0.7．
（3）設甲乙兩人到達指定地點的時刻分別為x，y，則由題意可得 x、y∈[14，16]．
我們把他們到達的時刻分別作為橫坐標和縱坐標，于是兩人到達的時刻均勻地分布在一個邊長為2的正方形EFMN所標示的區域Ⅰ內，如圖所示，
而相遇現象則發生在陰影區域EABMCD所表示的區域G內，即甲、乙兩人的到達時刻（x，y）滿足|x-y|≤0.5．
求得A（14，14.5）、B（15.5，16）、C（16，15.5）、D（14.5，14）．
所以兩人相遇的概率為區域G與區域Ⅰ的面積之比：P=

SG

SI

=

2×2-2( 1 2 × 3 2 × 3 2 )

2×2

=

7

16

，

點評：本題主要考查分層抽樣的定義和方法，利用了總體中各層的個體數之比，等于樣本中對應各層的樣本數之比，一個事件與它的對立事件概率間的關系，屬于基礎題．