Question

已知命題p：x₁和x₂是方程x²－mx－2＝0的兩個實根，不等式a²－5a－3≥|x₁－x₂|對任意實數m∈[－1,1]恒成立；

命題q：不等式ax²＋2x－1>0有解，

若命題p是真命題，命題q是假命題，求a的取值范圍.

Answer 1

∵x₁，x₂是方程x²－mx－2＝0的兩個實根，

∴x₁＋x₂＝m，x₁·x₂＝－2，

∴|x₁－x₂|＝＝，

∴當m∈[－1,1]時，|x₁－x₂|_max＝3，

由不等式a²－5a－3≥|x₁－x₂|對任意實數m∈[－1,1]恒成立，

可得：a²－5a－3≥3，∴a≥6或a≤－1，

∴命題p為真命題時a≥6或a≤－1，

若不等式ax²＋2x－1>0有解，則

①當a>0時，顯然有解，

②當a＝0時，ax²＋2x－1>0有解，

③當a<0時，∵ax²＋2x－1>0有解，

∴Δ＝4＋4a>0，∴－1<a<0，

所以不等式ax²＋2x－1>0有解時a>－1.

又∵命題q是假命題，∴a≤－1，

故命題p是真命題且命題q是假命題時，a的取值范圍為a≤－1.