Question

如圖，水平放置的三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)均2，且側(cè)棱AA₁⊥面
A₁B₁C₁，正視圖是邊長(zhǎng)為2的正方形，俯視圖為一個(gè)等邊三角形．
（1）求該三棱柱的側(cè)視圖的面積；
（2）若E為邊BC的中點(diǎn)，求三棱錐A₁-B₁BE的體積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)俯視圖為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，求出三角形的高即為側(cè)視圖的寬，再根據(jù)正視圖為邊長(zhǎng)為2的正方形，可知側(cè)視圖的高為2，計(jì)算可求側(cè)視圖的面積．
（2）根據(jù)三棱柱為直三棱柱，可證AE⊥平面BEB₁，求得三棱錐的高與底面面積，代入體積公式計(jì)算．

解答：解：（1）三棱柱的底面為等邊三角形，邊長(zhǎng)為2，作出等邊三角形的高后，組成直角三角形，
∵底邊的一半為1，∴等邊三角形的高為

3

，
由題意知左視圖是一個(gè)高為2，寬為

3

的矩形，
∴三棱柱的側(cè)視圖的面積為2

3

．
（2）∵側(cè)棱AA₁⊥平面A₁B₁C₁，∴三棱柱為直棱柱，
又E為BC的中點(diǎn)，∴AE⊥平面BEB₁，∴AE為三棱錐A₁-B₁BE的高，
AE=

3

，S△BB1E=

1

2

×1×2=1，
∴三棱錐A₁-B₁BE的體積V=

1

3

×1×

3

=

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：考查由三視圖求幾何體的體積，考查了三視圖的識(shí)別能力，作圖能力，三視圖的投影規(guī)則是主視、俯視 長(zhǎng)對(duì)正；主視、左視高平齊，左視、俯視寬相等．