Question

（2008•虹口區二模）（文）已知正方形ABCD的邊長為1，PD⊥平面ABCD，PD=3，
（1）求PB與平面ABCD所成角的大小；
（2）求異面直線PC與BD的夾角大小．

Answer 1

分析：（1）由題意可得：∠PBD是PB與平面ABCD所成角，在△PDB中有BD=

2

，PD=3，進而求出∠PBD的正切值，即可得到答案．
（2）連接AC交BD于點O，取AP的中點為E，連接DE，OE，由題意可得OE∥PC，得到∠EOD與所求角相等或互補，在△OED中再利用解三角形的有關知識求出答案即可．

解答：解：（1）因為PD⊥平面ABCD，
所以∠PBD是PB與平面ABCD所成角．
因為正方形ABCD的邊長為1，
所以BD=

2

，
所以在△PDB中，BD=

2

，PD=3，
所以tan∠PBD=

3

2

=

3 2

2

，
所以PB與平面ABCD所成角的大小為arctan

3 2

2

．
（2）連接AC交BD于點O，取AP的中點為E，連接DE，OE，

因為四邊形ABCD為正方形，
所以點O為AC的中點，
又因為E為AP的中點，
所以OE∥PC，并且OE=

1

2

PC，
所以∠EOD與所求角相等或互補．
因為正方形ABCD的邊長為1，PD⊥平面ABCD，PD=3，
所以PC=AP=

10

，OD=

2

2

，
所以OE=DE=

10

2

．
在△OED中，cos∠EOD=

OD2+OE2-DE2

2×OD×OE

=

5

10

，
所以異面直線PC與BD的夾角大小為arccos

5

10

．

點評：本題主要考查線面角與線線角，求空間角的步驟是：做角，證角，求角，而由圖形的結構及題設條件正確作出空間角來，是求角的關鍵，此題屬于中檔題．