Question

已知函數f（x）是定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數，當x＞0時，f（x）=log₂x．
（Ⅰ）求當x＜0時，函數f（x）的表達式；
（Ⅱ）求滿足f（x+1）＜-1的x的取值范圍；
（Ⅲ）已知對于任意的k∈N，不等式2^k≥k+1恒成立，求證：函數f（x）的圖象與直線y=x沒有交點．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）當x＜0時，則有-x＞0，故f（-x）=log₂（-x）=-f（x），由此求得函數f（x）的解析式．
（Ⅱ）由于 ，可得，由f（x+1）＜-1，可得，或．
由此解得x的范圍．
（Ⅲ）根據對稱性，只要證明函數f（x）的圖象與直線y=x在x∈（0，+∞）上無交點即可．令x∈（0，+∞），函數y₁=log₂x，y₂=x，分①當x∈（0，1]時，②當x∈（2^k，2^k+1]（k∈N）時這2種情況，分別求得y₁＜y₂，可得在x∈（0，+∞）上直線y=x始終在y=log₂x的圖象之上方，命題得證．
解答：解：（Ⅰ）當x＜0時，則有-x＞0，故f（-x）=log₂（-x）=-f（x），∴f（x）=-log₂（-x）．------（5分）
（Ⅱ）由于 ，
∴，
因為f（x+1）＜-1，∴，或．
解得x＜-3，或．----（10分）
（Ⅲ）根據對稱性，只要證明函數f（x）的圖象與直線y=x在x∈（0，+∞）上無交點即可．
令x∈（0，+∞），函數y₁=log₂x，y₂=x，
①當x∈（0，1]時，y₁≤0，y₂＞0，則y₁＜y₂，
②當，
則在x∈（0，+∞）上直線y=x始終在y=log₂x的圖象之上方．
綜上所述，由于對稱性可知，函數f（x）的圖象與直線y=x沒有交點．---------（15分）
點評：本題主要考查求函數的解析式，對數不等式的解法，指數函數的圖象和性質的綜合應用，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．