Question

【題目】定義在R上的函數f(x)，滿足當x>0時，f(x)>1，且對任意的x，y，有，．

（1）求的值；

（2）求證：對任意x，都有f(x)>0；

（3）解不等式f(32x)>4．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）見解析；（3）

【解析】

(1) x＝y＝0，得到f(0)·[f(0)1]＝0,再由令y＝0，得f(x)＝f(x)·f(0)，對任意x成立，得到f(0)＝1；（2）對任意x，有，之后再由反證法得到函數恒不為0；（3）先由定義得到函數的單調性，再由函數的單調性得到由f(32x)>4，得f(32x)>f(2)，即32x>2..

（1）對任意x，y，．

令x＝y＝0，得f(0)＝f(0)·f(0)，即f(0)·[f(0)1]＝0．

令y＝0，得f(x)＝f(x)·f(0)，對任意x成立，

所以f(0)≠0，因此f(0)＝1．

（2）證明：對任意x，有．

假設存在x0，使f(x0)＝0，

則對任意x>0，有f(x)＝f[(xx0)＋x0]＝f(xx0)·f(x0)＝0．

這與已知x>0時，f(x)>1矛盾．所以，對任意x，均有f(x)>0成立．

（3）令x＝y＝1有f(11)＝f(1)·f(1)，

所以f(2)＝22＝4．任取x1，x2，且x1<x2，

則f(x2)－f(x1)＝f[(x2x1)＋x1]f(x1)＝f(x2x1)·f(x1) f(x1)＝f(x1)·[f(x2x1)1]．

∵x1<x2，∴x2x1>0，由已知f(x2x1)>1，∴f(x2x1)1>0．

由（2）知x1，f(x1)>0．所以f(x2)f(x1)>0，即f(x1)<f(x2)．

故函數f(x)在上是增函數．

由f(32x)>4，得f(32x)>f(2)，即32x>2．解得x<．所以，不等式的解集是.