Question

f（x）是以2為周期的偶函數，且當x∈[0，1]時，f（x）=x，若在區間[-1，3]內，函數g（x）=f（x）-kx-k有4個零點，則實數k的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：根據函數是一個偶函數且周期是2，寫出函數在[-1，0]，[2，3]，[-1，0）上的函數解析式，根據g（x）仍為一次函數，有4個零點，故在四段內各有一個零點．分別在這四段上討論零點的情況，零點的范圍，最后求出幾種結果的交集．

解答：解：x在[0，1]，f（x）=x 由于f（x）是偶函數，x在[-1，0]，f（x）=-x f（x）是周期為2的函數 f（2）=f（0）=0 函數解析式：y=-x+2 x在[2，3]時，函數解析式：y=x-2 g（x）仍為一次函數，有4個零點，故在四段內各有一個零點． x在[-1，0）g（x）=-x-kx-k=-（k+1）x-k 令g（x）=0 x=-

k

k+1

-1≤-

k

k+1

＜0
解得k＞0 x在（0，1]g（x）=x-kx-k=（1-k）x-k 令g（x）=0 x=

k

k+1

0＜

k

k+1

≤1 解的0＜k≤

1

2

x在（1，2]g（x）=-x+2-kx-k=-（k+1）x+2-k 令g（x）=0 x=

2-k

k+1

1＜

2-k

k+1

≤2 解的0≤k＜

1

2

x在（2，3]g（x）=x-2-kx-k=（1-k）x-2-k 令g（x）=0 x=

k+2

1-k

2＜

k+2

1-k

≤3 解的0＜k≤

1

4

綜上可知，k的取值范圍為：0＜k≤

1

4

故答案為：（0，

1

4

]．

點評：學生知識經驗已較為豐富，智力發展已到了形式運演階段，具備了較強的抽象思維能力和演繹推理能力，所以本題符合這類學生的心理發展特點，從而促進思維能力的進一步發展．